什么是对称正定矩阵?
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发布时间：2024-06-08 06:01
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热心网友
时间：2024-06-08 05:57
如果A和B都是实对称正定阵，且AB=BA=B^TA^T=(AB)^T
这说明AB是对称阵
再利用AB的特征值都是正数（因为AB相似于对称正定阵A^{1/2}BA^{1/2}）得到AB对称正定。
例如：
^证明：因为A,B正定，所以 A^T=A,B^T=B
(必要性) 因为AB正定，所以 (AB)^T=AB
所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB
(充分性) 因为 AB=BA
所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB
所以 AB 是对称矩阵
由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.
故 AB = P^TPQ^TQ
而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相似
故 AB 正定
扩展资料：
（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）
（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。
参考资料来源：百度百科-正定矩阵
热心网友
时间：2024-06-08 06:01
既 对称 又 正定 的矩阵 叫 对称正定矩阵。 例如矩阵 A =
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就是对称正定矩阵
什么叫对称正定矩阵?
对称正定矩阵是一种特殊的矩阵，它具有以下性质：对称性：对称正定矩阵是转置矩阵等于其本身的矩阵，即对于任何矩阵A，如果满足A=AT，则称A是对称矩阵。正定性：对称正定矩阵的所有特征值都为正数。这意味着对于任意的非零向量x，都有xTAx>0。综合以上两点，我们可以得出对称正定矩阵的定义：对于一个n阶...
什么是对称正定矩阵
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式。正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
什么是对称正定矩阵
首先，正定矩阵的行列式总是正数，这是其基本的正定性标志。其次，一个实对称矩阵A被认为是正定的，当且仅当它与单位矩阵共享相同的正交特性，即两者具有相似性。此外，一个正定矩阵的逆矩阵同样保持正定性，这意味着正定矩阵的逆在性质上与原矩阵保持一致。再者，值得注意的是，两个正定矩阵的和也将保...
对称正定矩阵的介绍
对称正定矩阵，顾名思义，就是对称的正定矩阵，它与正定矩阵的区别就是具有对称性，是正定矩阵中的一种特殊情况，在计算方法迭代法，直接法中常被用到。
什么是对称正定矩阵
令A为 阶对称矩阵,若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之,令A为n 阶对称矩阵,若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）,则称A负定（半负定）矩阵.
什么是正定对称矩阵?
正定矩阵一定是对称矩阵么 对的。因为就是在对称矩阵的范围内讨论一个矩阵是不是正定的。什么叫正定矩阵 正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。 所有特征值...
举个对称正定矩阵的例子
正定矩阵 （1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的...
什么是对称矩阵?判别其正定性的方法有哪些?
1、正定矩阵的行列式恒为正；2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。二、判定的方法：根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：1、求出A的所有特征值...
什么是对称矩阵的正定性?
特征值全为正数的矩阵为正定矩阵。反之，特征值全为负数的矩阵为负定矩阵。任意给一个对称阵，做他的特征分解：，那么，。这里，由于是一个正交阵，则为的一个线性变换。考虑到定义中具有任意性，显然也具有任意性。令，即原定义等价于分析是否存在任意的，使得恒成立。2.也就是说，【重要结论一】...
什么是对称阵,什么是正定阵?
正定矩阵不一定是对称阵，正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
