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发布时间：2024-06-03 13:35
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时间：2024-06-04 03:25
快速沃尔什变换(FWT)：从零基础到竞赛利器
回想起一年半前，面对SRM518中的nim博弈问题，我还对FWT一无所知，凭借分治策略轻松过关。然而，最近在牛客网的一道难题中，我意识到没有FWT的辅助，解决这类对下标进行位运算的卷积问题似乎无从下手。这让我决定重温并分享这个神奇算法，它曾让我感叹时间的无情变迁。
沃尔什变换(Walsh Transform)，是离散傅立叶变换的一种替代方案，广泛应用于信号处理领域。不同于FFT，FWT将信号分解为一系列绝对值相等的整数，无需浮点运算，提升运算效率。其核心思想是将数组A经过变换后，转化为新序列C，通过特定的运算规则与原数组B结合，再进行逆向运算，达到在O(n)时间内完成目标。
具体来说，FWT的公式可以表示为:
A' = FFT(A) * B
其中，FFT表示快速傅立叶变换，*表示点乘，而A'则是我们目标的序列。通过这个过程，我们可以高效地解决位运算卷积问题。
对于常见的与(&)、或(|)运算，FWT有着独特的处理方式。以或运算为例，我们可以构造一个规则，使得序列A的每个元素i的二进制位为1的位置，是元素j的子集时，对应的序列C中的值为1。通过分治策略，将区间二分处理，将复杂度降低到O(n log n)。
异或(^)运算则基于一个原理：i与j的奇偶性与i^j与k的奇偶性异或相等。对于i与j的异或卷积，我们可以依据这个原理写出相应的公式。同理，同或(|)运算也有类似的表达式。
快速沃尔什变换，看似复杂，实则在竞赛中扮演着关键角色，尤其是在处理那些对下标位运算有要求的问题时。掌握并运用FWT，无疑能提升我们在ACM/OI这类竞赛中的解题效率。让我们一起深入理解并掌握这个算法，让解题之路更加顺畅无阻。
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