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证明:矩阵A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩,即r(AA')=r(A).详细解答

发布网友发布时间：2024-05-29 00:01

共2个回答

热心网友时间：2024-06-11 12:38

证明:
(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0
所以A'AX1=A'(AX1)=A'0=0
所以X1是A'AX=0的解.
故 Ax=0 的解是 A'AX=0 的解.

(2)设X2是A'AX=0的解, 则A'AX2=0
等式两边左乘 X2'得 X2'A'AX2=0
所以有 (Ax2)'(Ax2)=0
所以 AX2=0. [长度为0的实向量必为0向量, 此时用到A是实矩阵]
所以X2是AX=0的解.
故A'AX=0的解是AX=0的解.

综上知齐次线性方程组AX=0与A'AX=O是同解方程组.
所以 n-r(A) = n-r(A'A)
所以 r(A) = r(A'A).

所以 r(A) = r(A') = r((A')'A') = r(AA').

热心网友时间：2024-06-11 12:34

构造方程 1 AX=0
2 AA'X=0
证明1，2同解

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