嵌入不等式除了判别式证明还有别的证明方法吗
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发布时间：2024-05-15 14:19
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热心网友
时间：2024-05-20 02:31
妙用判别式巧证不等式 李连方 判别式在中学数学中占有十分重要的地位，它是等式与不等式相联系的重要桥梁，若能在解题过程中正确巧妙的运用，就能给人一种简单明快、耳目一新的感觉。而判别式运用的核心在于能否合理地构造二次方程或二次函数，但是高中教材中极少谈及，而导致不少同学不能自觉的、正确的运用判别式解题，为此下面将例谈判别式在不等式证明中的运用，旨在起抛砖引玉之用。 一、从条件或结论的外形结构构造二次方程，从而运用判别式 例1. 已知 ，求证： 分析：此题的证明方法很多，但从结论“ ”的结构特征联想到韦达定理的两根之和，利用韦达定理构造关于 的二次方程，更可显示出解题思维的广阔性。故设 ，若① ，则命题显然成立； ②若 ，得： 所以a，b是方程 的两实根，得： ，解得 故有 例2. 已知 且 ，求证： 分析：观察条件中给定式子的结构特征，并注意到结论需证明的是实数c的取值范围，所以可将c看成常量，这样就可以利用韦达定理构造关于a，b的二次方程。 由条件 得 又 得 所以a，b是方程 的两根 又 知此方程有两个大于c的实根，得： ，解得 二、从条件和结论的内在联系构造二次方程，从而运用判别式 例3. 已知 ，且 ，求证： 。 分析：由于条件给出的是一次式的等式，而结论需证的是二次式的不等式，而要利用判别式就需出现二次方程（函数），如何运用条件和结论的内在联系构造二次方程应成为解决本题的关键。联想到等式总比不等式简单，不妨设 ，则由条件得： 化简得： 故 从而有 所以有 （当然本题在设 后，也可利用韦达定理构造关于a，b的二次方程证明。） 例4. 已知实数 ，求证： 分析：类似与例3可设 ，但是如何将条件与结论相联系是本题的关键，注意到条件和结论的等式左边都是一个二次式，可联想化简后应是二次等式，所以在联立 后消去常数项就能得到 ①当 时， ；命题成立； ②当 时，（*）可化为 又因 为实数，则 所以有 三、从条件或结论的外形结构构造二次函数，从而运用判别式 例5. 已知 为任意三角形的三个内角。 求证： 。 分析：由于结论中出现了x，y，z二次项，联想构造二次函数，将结论整理变形为证明关于字母x的二次函数恒大于零。故设 又 所以有 ，即 例6. 已知 ，求证： 分析：本题乍看起来似无从着手，由题中结论“ ”的外形结构联想 ，此时解题的思路就会峰回路转，故可构造函数 ，则 当 时，由条件知 ，易得 ； 当 时， 又由条件得： 所以 与x轴必有两不同的交点，得 ，即 四、从条件和结论的内在联系构造二次函数，从而运用判别式 例7. 已知 ，且 ，求证： 分析：本题可类似于例3的证明方法，但是从条件和结论的结构特征，可联想二次函数 ，这样将条件和结论中的主要的式子与二次函数 有机的结合起来。显然 恒成立，所以△≤0，即 ，化简可得 。 例8. 已知 ，且 。 求证： 分析：条件给出的是 五个变量的等式，而求证的是关于变量e的范围，可见e与其余四个变量的地位不相同，不妨将字母e看成常量，将条件的两个等式有机的融入到函数 中，化简此函数可得： 显然 恒成立，所以 化简可得： 从以上的例题中我们可以发现判别式是方程、函数和不等式相联系的重要工具，是等式和不等式相互转化的重要桥梁。运用判别式△证明不等式，主要有两种途径：（1）构造有实数根的一元二次方程，然后利用△≥0来证明不等式；（2）构造恒大于（或小于）的一元二次函数，然后利用△≤0来证明不等式。另外掌握运用判别式证明不等式，还可以将此方法类似的解决参数范围、函数的值域及最值等问题。
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时间：2024-05-20 02:31
x^2+y^2+z^2>=2xycosc+2zxcosb+2yzcosa等价于(x-cosc*y-cosb*z)^2+(sinc*y-sinb*z)^2>=0
