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有哪些常见矩阵的逆?

发布网友发布时间：2024-05-30 00:18

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热心网友时间：2024-06-05 06:08

探索矩阵世界中的逆运算：常见矩阵求逆的巧妙公式

在矩阵运算中，伍德伯里公式如同一把钥匙，解锁了求逆的诸多秘密。这个由数学家Max Atkin Woodbury留下的公式，其表述为：

当矩阵乘法和加法的条件满足时，我们有

A \left( I + BA^{-1}C \right)^{-1} = A - ABA^{-1}C

这个简洁的等式，看似简单，却蕴含了强大的逆矩阵求解能力。例如，当我们面对B和C的组合，已知AB可逆，那么利用伍德伯里公式，我们可以直接得出(A + BC)^{-1}的表达式，无需繁琐的逐项计算。

当然，还有不借助伍德伯里公式的方法。比如，通过观察A + BC的结构，我们可以尝试构建一个形式上的“等式”来猜测(A + BC)^{-1}，然后通过验证证明其正确性。丘维声的《高等代数》中，就有这样巧妙的例题讲解。

进一步，我们还可以将矩阵逆视为矩阵加法的逆运算，从而得到：

(A + B)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}B(A + B)^{-1}

这正是《近世代数三百题》中的伍德伯里恒等式的具体体现，华罗庚大师对此有着深入的见解。

谢尔曼-莫里森公式作为伍德伯里的特殊形式，当C是一个列向量时，提供了更为具体的求逆方法。例如，姚慕生和谢启鸿在《高等代数》学习指导书中，通过例题展示了如何运用谢尔曼-莫里森公式求解矩阵逆，如求解阶矩阵A + uv^T的逆。

对于具体的问题，如求解A - uv^T的逆，我们只需利用矩阵的性质，如A - uv^T = A( I - \frac{uv^T}{u^TAu})，结合谢尔曼-莫里森公式，逆矩阵的求解变得轻而易举。

总的来说，伍德伯里公式和谢尔曼-莫里森公式是矩阵逆运算中的宝贵工具，它们不仅提供了求逆的快捷路径，而且展示了数学之美在实际问题中的应用。熟练掌握这些公式，将使你在矩阵世界中游刃有余。

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