[线性代数]秩与线性相关
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发布时间:2022-05-05 09:18
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热心网友
时间:2022-06-27 06:14
1.首先楼主要知道——列向量中如果前n行不相关整体不相关,比如b1=(a,b,c,d,e),b2=(f,g,h,i,j).如果说(a,b),(f,g)不相关,那么b1,b2不相关。
题目中说B=(b1,b2,b3)中有不等于0的2阶子式,也就是说B中能找出一个两个彼此无关的(a,b),(f,g),要是相关了,
(a,b)
(f,g)的行列式值为零。
所以其对应的“两个B的”整列向量“假设就是b1,b2”必须是线性无关的,因为整体的秩大于部分的秩。所以B的秩应该大于2,对吧。
再说二阶子式,上边说了我再举一个例子
b1,b2,b3)=
2
1
3
1
1
1
0
0
0
0
0
0
2
1
1
1
就是一个二阶子式,还恰巧是行列式值不为零的那个,
0
0
0
0
就是一个零子式,因为行列式值为零。
2.m个n维向量。就是说首先有m个向量
其次,每个向量的长度是n,所以你举得例子不对,应该是
(a1
a2
a3....am),对其中任意一个ai的长度为n,比如(1,2,3,,,n)T,就是把(1,2,3,,,n)竖过来写。
明白了吧,这样就把m,n都体现出来了。
楼主满意?
热心网友
时间:2022-06-27 06:14
书上有这样的一个推论:
A存在r阶主子式不为零,同时r+1阶主子式全为0,那么有R(A)=r。
至于主子式,只要其行列式不为零,随便选。例如本题
1
3
2
1
3
0
2
1
1
1
中,随便选那两列。组成的行列式都是不为零的。
所以至少有R(B)>或=2(>是当3阶主子式不为0)
m个n维向量组成的向量组是什么样的?
(a1
a2
a3....an)?m怎么体现??
——————————————————————————————
这个就不好说了,要看你的n维向量的列数。如果n维向量,每维为K列
则一共有km列了
但不影响行数。仍为n,维代表的是行数!
x1+x2+x3=0的基础解系a1=(1
0
-1
)T
a2=(0
1
-1)T
我的计算是:
x1=-x2-x3
x2=c1
x3=c2
所以解为:
-c1-c2
+c1+0
+0+c2=
(-c1
c1
0)T+(-c2
0
c2)T=c1(-1
1
0)T+c2(-1
0
1)T
基础解系为a1=(-1
1
0)T和a2=(-1
0
1)T才对啊?哪里错了?
——————————————————————————
a1=c1(-1
1
0)T和a2=c2(-1
0
1)T才对!!
呵呵。系数不能丢!
同时,你也知道c1,c2是不确定的,所以解向量的事实也可能是多种多样的,不一定答案是唯一的。
——————————————————————————————
在取入1=-1时,其特征向量为(-x
-1
1)T,
这么一个向量怎么得出它是线性无关的?和谁无关?
和其他的特征值对应的特征向量,在本题中,就是和x=1对应的两个特征向量
不过,我需要告诉你的是:你根本不需要来判断(-x
-1
1)T是否和x=1对应的两个特征向量是否线性无关。
有一个推论:
不同的特征值对应的特征向量肯定是线性无关的!所以
(-x
-1
1)T和x=1对应的两个特征向量自然线性无关!!!
*在取入2=入3=1时,程有2个线性无关的解,是指得出的
通解之间线性无关?
是(A-E)x=0得出的两个解线性无关,也可以认为“通解中的两个解向量”之间线性无关。
*为什么方程有2个线性无关的解,系数矩阵A-E
的秩R(A-E)要等于1??
有一个定理:
对于AX=0,如果R(A)=r,则一定有n-r个线性无关的解向量。
n为未知数个数,也可以认为是系数矩阵维数
对于本题。方程有2个线性无关的解。可知
R(A-E)=3-2=1(3为系数矩阵维数)
热心网友
时间:2022-06-27 06:15
1、(1)根据2阶子式的定义,你在矩阵B=(b1,b2,b3)任意取两行两列,按照原来的顺序组成的行列式就是2阶子式。B是个5行三列的矩阵,可以取30个2阶子式。(2)再根据矩阵的秩的定义,至少有一个2阶子式不等于0,所以秩R(B)>或=2。
2、m个n维向量组成的向量组是一个m行n列矩阵,是这么一个类型
a11
a12
...
a1n
a21
a22
...
a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1
am2
...
amn
问题补充:你的答案没有错,基础解系不是唯一的。你的答案a1=(-1
1
0)T和a2=(-1
0
1)T选择以x2和x3作为自由变量,而基础解系a1=(1
0
-1
)T
a2=(0
1
-1)T是选择以x1和x2作为自由变量,还有一种答案是选择x1和x3作为自由变量,基础解系是a1=(1
-1
0)T和a2=(0
-1
1)T.
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