关于圆锥曲线的数学题1.已知点Q(2√2,0)及抛物线x^2=4y上一动点p(x...
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发布时间：2024-04-06 05:58
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时间：2024-09-28 17:23
1.已知点Q（2√2,0）及抛物线x^2=4y上一动点p（x,y）,则y+｜PQ｜的最小值是?
设y+|PQ|=d（d≥0),则|PQ|=d-y,|PQ|²=（d-y)²=d²+y²-2dy,即
y²+x²+8-(4√2)y=d²+y²-2dy,整理得x²-（4√2-2d)y+8-d²=0.由抛物线方程x²=4y得y=x²/4,把y=x²/4代入x²-（4√2-2d)y+8-d²=0得x²-（2√2-d)x²/2+8-d²=0,（1-√2+d/2）x²+8-d²=0,因为x为实数,所以(1-√2+d/2)(8-d²)≤0,解不等式组1-√2+d/2≥0,
8-d²≤0,
和1-√2+d/2≤0,
8-d²≥0,得
d≤-2√2(不合题意,舍去）和d≥2√2.所以y+｜PQ｜的最小值是d=2√2.
2.设抛物线y²=2x的焦点为F,过点M(√3,0)的直线与抛物线相交与A,B两点,与抛物线的准线相交与C,｜BF｜=2,则△BCF与△ACF所成的面积之比为?
抛物线y²=2x的焦点F（1/2,0),准线为x=-1/2.设过点M(√3,0)的直线方程y=k(x-√3),点B的坐标为B(x′,y′）,则有
y′=k(x′-√3）,①
y′²=2x′,②
y′²+（x′-1/2)²=4.③
解方程组的过程如下：
把②代入③得x′²+x′-15/4=0,(x′+5/2)(x′-3/2)=0,x′=-5/2或x′=3/2,其中x′=-5/2不合题意.
把x′=3/2代入②得y′²=3,y′=√3或y′=-√3.
点B的坐标为B(3/2,√3)或B(3/2,-√3).
下面取B(3/2,√3)一种情况进行探讨：
把x′=3/2和y′=√3代入①得k=√3/(3/2-√3）,
把k=√3/(3/2-√3）代入y=k(x-√3),得y=(√3x-3）/(3/2-√3）,
直线y=(√3x-3）/(3/2-√3）与直线x=-1/2的交点的横坐标为x=-1/2,
把x=-1/2代入y=(√3x-3）/(3/2-√3）得y=(-√3/2-3）/(3/2-√3）
=(√3/2+3）/(√3-3/2）=(√3/2+3）(√3+3/2）/(3/4）=(6+15√3/4)/(3/4）
=4(2+5√3/4)=8+5√3.所以点C的坐标为C(-1/2,8+5√3）.
下面求点A的坐标(取其中一种情况)：
把y=(√3x-3）/(3/2-√3）代入y²=2x得[(√3x-3）/(3/2-√3）]²=2x,即（3x²-6√3x+9)/(21/4-3√3）=2x,3x²-6√3x+9=6(7/4-√3)x,
x²-2√3x+3=2(7/4-√3)x,x²-7x/2+3=0,x=2或x=3/2(点B的横坐标为3/2,故取2为点A的横坐标).
把x=2代入y=(√3x-3）/(3/2-√3）得y=(2√3-3）/(3/2-√3）
=(2√3-3）(3/2+√3）/(-3/4）=4(3-2√3)(3/2+√3）/3=(-6)/3=-2.所以点A的坐标为A（2,-2）.
△BCF与△ACF的高相等,底在同一条直线上,所以它们的面积的比等于它们底边的比,它们底边的比又等于B,C两点的横坐标与点C的横坐标之差的比,也等于B,C两点的纵坐标与点C的纵坐标之差的比.即（3/2+1/2)/(2+1/2)=4:5.[或者（√3-8-5√3):(-2-8-5√3）=（8+4√3）：(10+5√3）=4：5].
（由于图像的对称性,根据另外一种情况得出的结果会和上面相同.）
