matlab中数值积分和直接积分的精度哪个高
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发布时间：2022-12-16 20:09
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时间：2023-09-19 07:39
一、Z = trapz(X,Y,dim)
梯形数值积分，通过已知参数x,y按dim维使用梯形公式进行积分
例1 计算int(sin(x),0,pi)
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>>x=0:pi/100:2*pi;
>>y=sin(x);
>>z=trapz(x,y)%或者说使用z = pi/100*trapz(y)
z =
1.0300e-017
>>z = pi/100*trapz(y)
二、[q,fcnt]= quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)
自适应simpson公式数值积分，适用于精度要求低，被积函数平滑性较差的数值积分
注意事项：
1.被积函数fun必须是函数句柄
2.积分限[a,b]必须是有限的，因此不能为inf
3.p1为其他需要传递的参数，一般是数值
可能警告：
1.'Minimum step size reached'
意味着子区间的长度与计算机舍入误差相当，无法继续计算了。原因可能是有不可积的奇点
2.'Maximum function count exceeded'
意味着积分递归计算超过了10000次。原因可能是有不可积的奇点
3.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'
意味着在积分计算时，区间内出现了浮点数溢出或者被零除。
例2 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]
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>>F = @(x,n)1./(x.^3-2*x-n);
>>Q = quad(@(x)F(x,5),0,2)%或者使用 quad(F,0,2,[],[],5)效果是一样的，只是前者使用的函数嵌套
Q =
-0.4605
>>quad(F,0,2,[],[],5)
ans =
-0.4605
三、[q,fcnt] = quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)
自适应Lobatto数值积分，适用于精度要求高，被积函数曲线比较平滑的数值积分
注意事项：
同quad
可能警告：
同quad
例3 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]
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>>F=@(x,p)1./(x.^3-2*x-p);
>>Q = quadl(F,0,2,[],[],5)%或者Q = quadl(@(x)F(x,5),0,2)
Q =
-0.4605
四、[q,errbnd] = quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,...)
自适应Gauss-Kronrod数值积分，适用于高精度和震荡数值积分，支持无穷区间，并且能够处理端点包含奇点的情况，同时还支持沿着不连续函数积分，复数域线性路径的围道积分法
注意事项：
1.积分限[a,b]可以是[-inf,inf]，但必须快速衰减
2.被积函数在端点可以有奇点，如果区间内部有奇点，将以奇点区间划分成多个，也就是说奇点只能出现在端点上
3.被积函数可以剧烈震荡
4.可以计算不连续积分，此时需要用到'Waypoints'参数，'Waypoints'中的点必须严格单调
5.可以计算围道积分，此时需要用到'Waypoints'参数，并且为复数，各点之间使用直线连接
6.param,val为函数的其它控制参数，比如上面的'waypoints'就是，具体看帮助
出现错误：
1.'Reached the limit on the maximum number of intervals in use'
2.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'
例4 计算有奇点积分int(exp(x)*log(x),0,1)
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>>F=@(x)exp(x).*log(x);%奇点必须在端点上，否则请先进行区间划分
>>Q = quadgk(F,0,1)
Q =
-1.3179
例5 计算半无限震荡积分int(x^5*exp(-x)*sin(x),0,inf)
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>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);
>>fplot(F,[0,100])%绘图，看看函数的图形
>>[q,errbnd] = quadgk(F,0,inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-12)%积分限中可以有inf，但必须快速收敛
q =
-15.0000
errbnd =
9.4386e-009
例6 计算不连续积分，积分函数为f(x)=x^5*exp(-x)*sin(x)，但是人为定义f(2)=1000，f(5)=-100，积分区间为[1 10]
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>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);
>>[q,errbnd] = quadgk(F,1,10,'Waypoints',[2 5])%显然2，5为间断点
q =
-10.9408
errbnd =
3.2296e-014
例7 计算围道积分，在复数域内，积分函数1/(2*z-1)，积分路径为由[-1-i 1-i 1+i -1+i -1-i]围成的矩形边框
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>>Waypoints=[-1-i 1-i 1+i -1+i -1-i];
>>plot(Waypoints);%绘制积分路径
>>xlabel('Real axis');ylabel('Image axis');axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);grid on;
>>Q = quadgk(@(z)1./(2*z - 1),-1-i,-1-i,'Waypoints',[1-i,1+i,-1+i])%注意各点间使用直线连接
ans =
0.0000 + 3.1416i
>> quadgk(@(z)1./(2*z - 1),-1-i,-1-i,'Waypoints',Waypoints)%使用这个的效果也是一样的，就是说始末点可以随便包不包含在Waypoints中
ans =
0.0000 + 3.1416i
五、[Q,fcnt] = quadv(fun,a,b,tol,trace)
矢量化自适应simpson数值积分
注意事项：
1.该函将quad函数矢量化了，就是一次可以计算多个积分
2.所有的要求完全与quad相同
