一次函数的函数的应用

发布网友 发布时间：2022-04-23 20:15

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热心网友 时间：2023-10-08 20:41

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。 1.求函数图象的k值：(y1-y2)/(x1-x2)，即k=tanα（α为直线与x轴正方向的夹角）
2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2
4.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，令y1=y2，得k1x+b1=k2x+b2。将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1，y2=k2x+b2两式的任一式，得到y=y0，则(x0, y0)即为 y1=k1x+b1与y2=k2x+b2之交点坐标。
6.求任意2点所连线段的中点坐标：( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 )
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) （若分母为0，则分子为0）
(x,y)的正负性为 +，+（正，正）时该点在第一象限
(x,y)的正负性为 -，+（负，正）时该点在第二象限
(x,y)的正负性为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
(x,y)的正负性为 +，-（正，负）时该点在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相平行，则k1=k2，b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相垂直，则k1×k2=-1
10.
设原直线为y=f(x)=kx+b
y=f(x-n)=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=f(x+n)=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
y=f(x)+n=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=f(x)-n=kx+b-n就是向下平移n个单位
口诀：左加右减相对于X，上加下减相对于b。
11.直线y=kx+b与x轴的交点：(，0)，与y轴的交点：(0，) 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）。 常见题型一次函数及其图象是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。
一. 定义型
例1. 已知函数 是一次函数，求其解析式。
解：由一次函数定义知 ， ， ，故一次函数的解析式为y=-6x+3。
注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。
二. 点斜型
例2. 已知一次函数y=kx-3的图象过点(2, -1)，求这个函数的解析式。
解： 一次函数 的图象过点(2, -1)， ，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。
变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1是，求这个函数的解析式。
三. 两点型
例3.已知某个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。
解：设一次函数解析式为y=kx+b
由题意得 ，
故这个一次函数的解析式为y=2x+4.
四. 图像型
例4. 已知某个一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为__________。
解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数 的图象过点(1, 0)、(0, 2) 有
所以k=-2
b=2
故这个一次函数的解析式为y=-2x+2.
五. 斜截型
例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。
解析：两条直线 ； 。当k1=k2 ，b1≠b2时，
直线y=kx+b与直线y=-2x平行， 。又 直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2.
六. 平移型
例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图象解析式为___________。
解析：设函数解析式为 y=kx+b， 直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行

直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1，故图象解析式为 .
七. 实际应用型
例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。
解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20

故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（ ）
注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围，别忘了考虑变量存在等于0的情况。
八. 面积型
例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。
解：易求得直线与x轴交点为 ，所以
，所以|k|=2 ，即
故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4
九. 对称型
若直线 与直线y=kx+b关于
（1）x轴对称，则直线 的解析式为y=-kx-b；
（2）y轴对称，则直线 的解析式为y=-kx+b；
（3）直线y=x对称，则直线 的解析式为 ；
（4）直线y=-x对称，则直线 的解析式为 ；
（5）原点对称，则直线 的解析式为y=kx-b.
例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。
解：由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1
十. 开放型
例10. 已知函数的图象过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。
解：
（1）若经过A、B两点的函数图象是直线，由两点式易得y=-2x+6
（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图象还可以是双曲线
，解析式为
（3）其它（略）
十一. 几何型
例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点， ， ，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为(0, 3)。（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式。
解：（1）由直角三角形的知识易得点A(-3√3, 0)、B(√3, 0)，由待定系数法可求得二次函数解析式为 ，对称轴是x=-√3 　（2）连结OE、OF，则 、 。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E 、F ，由待定系数法可求得一次函数解析式为
十二. 方程型
例12. 若方程x2+3x+1=0的两根分别为 ，求经过点P 和Q 的一次函数图象的解析式
解：由根与系数的关系得


点P(11, 3)、Q(-11, 11)
设过点P、Q的一次函数的解析式为y=kx+b
则有
解得
故这个一次函数的解析式为
十三. 综合型
例13. 已知抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D在双曲线 上，直线y=kx+c经过点D和点C(a, b)且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组 ，求这条直线的解析式。
解：由抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D 在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：
y1=-7x2+14x-12，顶点D1(1, -5)及y2=-27x2+18x-18
顶点D2 　　
解方程组得 ，
即C1(-1, -4)，C2(2, -1)
由题意知C点就是C1(-1, -4)，所以过C1、D1的直线是 ；过C1、D2的直线是