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发布时间：2023-04-10 13:27
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时间：2023-09-03 19:15
拐点的释义：高等数学上指曲线上凸与下凹的分界点。经济学上指某种经济数值持续向高后转低或持续向低后转高的转折点。
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方（例如：经济运行出现回升拐点）。在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。
拐点定义：（根据高等数学同济6版上册第151页）。一般的，设y=f（x）在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f（x）在经过点（x0，f（x0））时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x0，f（x0））为这曲线的拐点。
拐点的必要条件：设f（x）在（a，b）内二阶可导，x0∈（a，b），若（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的一个拐点，则f‘’（x0）=0。拐点的充分条件：设f（x）在（a，b）内二阶可导，x0∈（a，b），则f‘’（x0）=0，若在x0两侧附近f‘’（x0）异号，则点（x0，f（x0））为曲线的拐点。否则（即f‘’（x0）保持同号，（x0，f（x0））不是拐点。
拐点的求法：
可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f（x）的拐点：求f''（x）；令f''（x）=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''（x）不存在的点；对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''（x）在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0，f（x0））是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0，f（x0））不是拐点。
例如，y=x^3，y'=3x^2，y''=6x，解出x=0时，y'=0，y''=0：y在（负无穷大，0）上为增函数，y''<0，函数曲线为凸函数；y在（0，正无穷大）上为增函数，函数y''>0，函数曲线为凹函数。但y全区间函数为增函数，拐点在这里说明的只是函数曲线凹凸分界点。
在生活中，拐点多用来说明某种情形持续上升一段时间后开始下降或回落。在数学上这句话是错的，这种点叫极值点、稳定点或者叫驻点；所以，有了经济的拐点，房地产的拐点，以及股市的拐点。
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