什么是函数的奇偶性
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发布时间:2022-04-23 21:00
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时间:2023-09-08 20:57
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性,即已知是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数);偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性,即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上是减函数(增函数)。但由单调性不能代表其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。
一般地,对于函数
⑴如果对于函数定义域内的任意一个x,都有或那么函数就叫做偶函数。关于y轴对称,。
⑵如果对于函数定义域内的任意一个x,都有或,那么函数就叫做奇函数。关于原点对称,。
⑶如果对于函数定义域内的任意一个x,都有和,(x∈R,且定义域关于原点对称.)那么函数既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
⑷如果对于函数定义域内的存在一个a,使得,存在一个b,使得,那么函数既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
定义域互为相反数,定义域必须关于原点对称
特殊的,既是奇函数,又是偶函数。
说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性。
(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数在x=0处有意义,则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。
⑤如果函数定义域不是关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如
(]或[)(定义域不关于原点对称)
⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数,则叫做既奇又偶函数。例如
注:任意常函数(定义域关于原点对称)均为偶函数,只有是既奇又偶函数
偶函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数。
奇函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)称为奇函数。
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点(x,y)→(-x,-y)
奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
1、大部分偶函数没有反函数(因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数)。
2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、奇±奇=奇(可能为既奇又偶函数) 偶±偶=偶(可能为既奇又偶函数) 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇(两函数定义域要关于原点对称).
4、对于F(x)=f[g(x)]:
若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数,则F[x]是偶函数。
若g(x) 是偶函数且f(x)是奇函数,则F[x]是偶函数。
若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数,则F[x]是奇函数。
若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数,则F[x]是偶函数。
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。
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