简述概率论中互不相容,对立,独立与不相关之间的联系区别

发布网友 发布时间：2022-04-23 22:32

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热心网友 时间：2022-07-14 04:06

互不相容:
若两事件A与B不能同时发生,则称A与B是互不相容事件,或称互斥事件,记作A∩B= Φ
对立:
在互不相容的基础上再加一个条件,P(A)+P(B)=1。通俗的说所谓对立事件，有你没我，有我没你，咱俩之间必须有一个
独立:
设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立
不相关:
若随机变量 X 和 Y 的相关系数 r(X,Y)=0,称 X 与 Y 不相关,众所周知,独立变量一定不相关(自然要求方差有限),不独立变量也可以不相关,单位圆内的均匀分布即其一例.

互不相容与对立
由上面的定义可知,对立对两个事件的性质要求比互不相容高

独立与不相关

独立和不相关从字面上看都有“两个东西没关系”的意思。但两者是有区别的。相关性描述的是两个变量是否有线性关系,独立性描述的是两个变量是否有关系。不相关表示两个变量没有线性关系,但还可以有其他关系,也就是不一定相互独立
结论：
（1）X与Y独立，则X与Y一定不相关
（2）X与Y不相关，则X与Y不一定独立
证明：
（1）由于X与Y独立，所以f(xy)=f(x)f(y),（f为概率密度函数）
于是:E(XY)=∫∫f(xy)dxdy
=∫∫[f(x)*f(y)]dxdy
=∫f(x)dx*∫f(y)dy
=E(X)E(Y)
所以：E(XY)=E(X)E(Y)，即X，Y不相关。
（2）反例：
X=cost,Y=sint，其中t是(0,2π]上的均匀分布随机变量。
易得X和Y不相关，因为：
E(XY)=E(cost sint)=（1/2π）*∫sint cost dt = 0
E(X)=（1/2π）* ∫cost dt = 0
E(Y)=（1/2π）* ∫sint dt = 0
所以E(XY)=E(X)E(Y)
但是他们是不独立的。
因为：X和Y各自的概率密度函数在（-1,1）上有值，但是XY的联合概率密度只在单位圆内有值，所以f(XY)不等于f(x)*f(y),两者不独立。

我也在学习概率论,后天就考试了...希望楼主采纳,谢谢来自：求助得到的回答

热心网友 时间：2022-07-14 05:24

互不相容:
若两事件A与B不能同时发生,则称A与B是互不相容事件,或称互斥事件,记作A∩B= Φ
对立:
在互不相容的基础上再加一个条件,P(A)+P(B)=1.通俗的说所谓对立事件,有你没我,有我没你,咱俩之间必须有一个
独立:
设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立
不相关:
若随机变量 X 和 Y 的相关系数 r(X,Y)=0,称 X 与 Y 不相关,众所周知,独立变量一定不相关(自然要求方差有限),不独立变量也可以不相关,单位圆内的均匀分布即其一例.
互不相容与对立
由上面的定义可知,对立对两个事件的性质要求比互不相容高
独立与不相关
独立和不相关从字面上看都有“两个东西没关系”的意思.但两者是有区别的.相关性描述的是两个变量是否有线性关系,独立性描述的是两个变量是否有关系.不相关表示两个变量没有线性关系,但还可以有其他关系,也就是不一定相互独立
结论：
（1）X与Y独立,则X与Y一定不相关
（2）X与Y不相关,则X与Y不一定独立
证明：
（1）由于X与Y独立,所以f(xy)=f(x)f(y),（f为概率密度函数）
于是:E(XY)=∫∫f(xy)dxdy
=∫∫[f(x)*f(y)]dxdy
=∫f(x)dx*∫f(y)dy
=E(X)E(Y)
所以：E(XY)=E(X)E(Y),即X,Y不相关.
（2）反例：
X=cost,Y=sint,其中t是(0,2π]上的均匀分布随机变量.
易得X和Y不相关,因为：
E(XY)=E(cost sint)=（1/2π）*∫sint cost dt = 0
E(X)=（1/2π）* ∫cost dt = 0
E(Y)=（1/2π）* ∫sint dt = 0
所以E(XY)=E(X)E(Y)
但是他们是不独立的.
因为：X和Y各自的概率密度函数在（-1,1）上有值,但是XY的联合概率密度只在单位圆内有值,所以f(XY)不等于f(x)*f(y),两者不独立.

热心网友 时间：2022-07-14 06:59

1.对立的事件一定是互不相容的事件，反之不成立。
若A与B互不相容，且A与B的和事件等于样本空间，则A与B是对立. 也就是说，对立比互不相容多一个条件.

2.相互独立的的随机一定是不相关的随机变量，反之不成立。但对于一种特殊情况，也就是：
若(X,Y)是服从二维正态分布的随机向量，则X与Y相互独立和X与Y不相关是等价的.

3. 若P(A)>0,P(B)>0,则A与B互不相容和A与B相互独立不能同时成立.

4. 概率不为零且相互对立的两个事件一定不是相互独立的.因为相互对立的事件首先是互不相容的，由第3条可知，它们一定不独立.

暂时想到这些，有什么问题还可以交流.

热心网友 时间：2022-07-14 08:50

互不相容:
若两事件A与B不能同时发生,则称A与B是互不相容事件,或称互斥事件,记作A∩B= Φ
对立:
在互不相容的基础上再加一个条件,P(A)+P(B)=1。通俗的说所谓对立事件，有你没我，有我没你，咱俩之间必须有一个