急求关于证明5次以上多项式不存在求根公式的证明!!

发布网友 发布时间：2022-04-23 09:24

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热心网友 时间：2023-10-09 11:14

从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。
用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得*解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。
1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。
随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根xi代替x1时，其中1〈i≤n ，那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。
阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。
伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。
对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1）
假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。
伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，*解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数*算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。http://www.nhyz.org/psz/%CA%FD%D1%A7%CA%B7/buer.html

热心网友 时间：2023-10-09 11:14

5次以上代数方程无求根公式的定理，是Lagrange猜想出来的，后来Abel最先证明之。
——伽罗华的早逝和群论的命运
埃．伽罗华（E.Galois，1811－1832）创立了具有划时代意义的数学分支——群论
在数学发展史上作出了重大贡献。但是，他在还不到21岁的时候就与世长辞了。剖析伽
罗华短促而坎坷的一生，对于我们如何对待人才，怎样发展科学，具有一定的启发作用
。
伽罗华是法国巴黎郊区布尔—拉—林镇镇长的儿子。12岁之前受他母亲教育的，在
这时期他学习了希腊语、拉丁文和通常的算术课。1923年他离开了双亲，考入巴黎预科
学校路易—勒—格兰学院（皇家中学），从而开始接受正规学校的教育。在第三年，他
报名选学了第一门数学课。由于他的老师深刻地讲授，伽罗华对数学产生了浓厚的兴趣
，他很快地学完了通常规定的课程，并求教于当时的数学大师。他如饥似渴地阅读了A．
M．勒让德的著作《几何原理》和T．L．拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论
》、《微积分学教程》。由于他刻苦学习，能着重领会和掌握其中的数学思维方法，因
引，这些功课的学习，使他思路开阔，科学创造的思维能力得到了训练和提高。他的中
学数学专业班的老师里查说“伽罗华只宜在数学的尖端领域工作”。1829年3月他在《纯
粹与应用数学年报》上发表了他的第一篇论文——《周期连分数的一个定理的证明》。
这时他还是一位中学生。他曾先后两次参加综合技术大学的入学考试，结果都落第了。
1829年7月2日，正当他准备入学考试的时候，他父亲由于受不了牧师的攻击、诽谤、自
杀了。这些遭遇都给伽罗华带来了不幸。1829年10月25日，他只被师范大学录取为预备
生。
当伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题。我
们知道，一般的二次方程的解，要求对系数的一个函数求平方根。要得出三次方程的一
般解，要求对系数的函数开立方。一般的四次方程的解，要求开四次方。一般的五次方
程的解是否也能用加减乘除开方这五种运算的代数方法从方程的系数得出呢？许多人为
之耗去许多精力，但都失败了。直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研究才
算迈出重要的一步。他精心分析了二次、三次、四次方程根式解结构之后，提出了方程
的预解式概念，并且进一步看出预解式和诸根排列置换下形式不变性有关，这时他认识
到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理
论给出了高于四次的一般代数方程的代数求解公式不存在的严格证明。伽罗华在前人研
究成果的基础上，利用群论的方法，从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题。他
从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，
并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换
群及其子群结构的分析上。高斯早就预见到代数方程的根式解的问题终归为二项方程的
求解问题。伽罗华仔细分析了具有根式解的二项方程作为“预解方程”时所对应的置换
子群的特征。结果他发现，如果一个群可以生成一系列极大正规子群，而它们的合成因
子是质数，则该群是可解的。当大于四次的代数方程所对应的群的合成因子就不全是质
数，因而五次及高于五次的代数方程有些是不能用代数方法解出的。
1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，他把关于群论研究所初步结果的第
一批论文提交给法国科学院。科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的
鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见
听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作
报告……但因病在家。我很贵憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议以讨
论已指明的议题。”然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍
伽罗华的著作。为什么会发生这样的事情？这是值得研究的一个问题。1830年2月，伽罗
华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了。以参加科学院的数学大奖评选，论文
寄给当时科学院终身秘书J．B．傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未
能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。
人们由于受已有经验、旧传统观念和偏见的束缚，往往产生出一种墨守陈规的倾向
和不愿接受新鲜事物的惰性。我们认为：柯西之所以原先打算讨论伽罗华所提供的报告
，以后又不了了之，很可能是他思想的偏见所致，领会不了伽罗华在数学上具有*性
的新思想。在伽罗华之前人们考虑方程求解问题，基本是一个方法一个方法孤立地去解
决，解次数不同的方程，用不同的方法。直到拉格朗日开始，才注意到解各种代数方程
的方法之间的联系，并用根的置换理论看清了以前各种解法之间的统一性。拉格朗日这
种从整体上考虑问题的新的思想萌芽被伽罗华接受过来，并大大发展了，产生出新的思
想——系统结构的整体思想。把孤立地考虑方程求解的问题归结为数学新的对象——群
及其子群的结构性质分析上去，这就从局部考虑问题上升到整体考虑问题。这是以前数
学家考虑问题不曾有的一种具有*性的新思想，从而开拓出群论这个新的数学研究领
域。
1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成
论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作。当时的数学家S．K．
泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽
罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。
对事业必胜和信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的
支持，但他并没有灰心，他坚信他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还
进一步向更广的领域探索。伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期
，又赶上路易．腓力浦朝代初期。他是当时最先进的**集团——共和党的成员。
这时法国激烈的*斗争吸引了年轻热情的伽罗华，他先后两次被捕入狱，并且被学校
开除了。第二次被捕是1831年7月14日，直到1832年4月29日才出狱。不久，由于参加无
意义的决斗受重伤，于5月31日离开了人间。在他临死的前一夜还把他的重大科研成果匆
忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类
。
伽罗华的重大创作在生前始终没有机会发表。直到1846年，也就是他死后14年，法
国数学家刘维尔才着手整理后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上，自此，伽罗
华的重大贡献才逐渐为人们所了解。1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想，写了《
论置换与代数方程》一书，在这本书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述。今天由伽罗
华开创的群论，不仅对近代数学的各个方面，而且对物理学、化学的许多分支都产生了
重大的影响。
伽罗华及其所创立的群论蒙难的历史事实深刻地告诉我们：作为在学术上有杰出贡
献的老一辈科学家，一定要积极热情地鼓励和支持年青一代的科学研究成果。要发扬“
甘当梯子”的精神，让年青科学工作者“踩着自己的肩膀”攀登到科学的顶峰。就是说
，对于创造活力的青年人，作为老一代的科学家就应该像园丁培育芳草一样去精心浇灌
，对于他们在创造过程中出现的这样或那样的问题应该耐心地予以指教，有的问题应与
他们一块去思考，共同去完善提高它。不要怕青年人超过自己，要欢迎他们超过自己。
同时青年人也要尊重老一代科学家，虚心学习他的长处，主动取得他们的支持和帮助。
只有这样，才能各自发挥所长，共同攻关，携手前进，为迅速发展科学事业做出更大的
贡献。
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