直角三角形法的运用?

发布网友 发布时间：2022-04-29 11:14

我来回答

共3个回答

热心网友 时间：2022-06-26 18:39

直角三角形是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。其符合勾股定理，具有一些特殊性质和判定方法。

直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三

角形，还有等腰直角三角形（特殊情况)在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。

等腰直角三角形是一种特殊的三角形

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为180°。两直角边相等，两锐角为45°，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。

它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²（勾股定理)

2、在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°

3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。

4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

5、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

射影定理图

（1）（AD)²=BD·DC。

（2）（AB)²=BD·BC。

（3）（AC)²=CD·BC。

射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边的射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。

6、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

证明方法多种，下面采取较简单的几何证法。

先证明定理的前半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2

∵∠A=30°

∴∠B=60°（直角三角形两锐角互余）

取AB中点D，连接CD，根据直角三角形斜边中线定理可知CD=BD

∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）

∴BC=BD=AB/2

再证明定理的后半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°

取AB中点D，连接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

又∵BC=AB/2

∴BC=CD=BD

∴∠B=60°

∴∠A=30°

7、如图，

在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜边上的高，则：

证明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC

两边乘以2，再平方得AB*AC=AD*BC

运用勾股定理，再两边除以

,最终化简即得

性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

判定方法

编辑

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若

，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。

判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理

判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。

判定3和7的证明：

已知△ABC中，∠A=30°，∠A，∠C对的边分别为a，c，且a=

c。求证∠C=90°

证法1：

正弦定理，在△ABC中，有a:sinA=c:sinC

将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1

又∵0<∠C<180°

∴∠C=90°

证法2

反证法，假设∠ACB≠90°，过B作BD⊥AC于D

在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°

∴BD=

AB（30°的直角边等于斜边的一半）

又∵BC=

AB

∴BC=BD

但BD是B到直线AC的垂线段，根据垂线段最短可知BD<BC，从而出现矛盾。

（或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90°，那么△BCD中就有两个直角，这是不可能的事情）

∴假设不成立，∠ACB=90°

证法3

利用三角形的外接圆证明

作△ABC的外接圆，设圆心为O，连接OC,OB

∵∠BAC=30°，A在圆上

∴∠BOC=60°

∵OB=OC=半径r

∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r

又∵AB=2BC=2r

∴AB是直径

∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)

希望我能帮助你解疑释惑。

热心网友 时间：2022-06-26 18:40

热心网友 时间：2022-06-26 18:40