特殊要求证明勾股定理，怎么证明？太难了，急需答案啊，哪位高手给指教？？

发布网友 发布时间：2022-04-29 19:43

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热心网友 时间：2023-10-07 15:45

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或
http://cache.baidu.com/c?word=%D7%F6%3B%CB%C4%B8%F6%3B%C8%AB%B5%C8%3B%B5%C4%3B%D6%B1%BD%C7%3B%C8%FD%BD%C7%3B%D0%CE&url=http%3A//www%2Eetc%2Ee%2Ecn/iitc/%B5%DA%CB%C4%C6%DA/zyzx/%D5%D4%CF%FE%B5%D1%B9%B4%B9%C9%B6%A8%C0%ED/%CA%FD%D1%A7%BB%EE%B6%AF%2D%B9%B4%B9%C9%B6%A8%C0%ED/New%5FFolder/aboutme10%2Ehtm&b=53&a=16&user=

勾股定理小知识

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。

这个定理在中国又称为"商高定理"，在外国称为"毕达哥拉斯定理"。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说："…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。"什么是"勾、股"呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。

毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。

关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果 。

小故事: 总统巧证勾股定理

学过几何的人都知道勾股定理。它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种。其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。

总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的。事情的经过是这样的；

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

他是这样分析的，如图所示：

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”。

勾股定理的几种证明方法

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

， 整理得 .

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .

∴ . ∴ .

【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

三角形的面积等于 . 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

∠HEF = 90º.

∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .

∴ .

∴ .

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于 .

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD‖BC.

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 .

∴ .

∴ .

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即 ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴ .

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP‖BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵ ∠BCA = 90º，QP‖BC，

∴ ∠MPC = 90º，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90º，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于 ，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 = .

同理可证，矩形MLEB的面积 = .

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ ，即 .

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

∠CAD = ∠BAC，

∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

即 .

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 .

∴ ，即 .

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =

CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .

又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，

∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

①

∵ = ，

，

∴ = . ②

把②代入①，得

= = .

∴ .

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90º，

∴ ∠TBH = ∠ABE.

又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.

∴ HT = AE = a.

∴ GH = GT―HT = b―a.

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90º，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE

= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌

RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 .

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，

∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 .

∵ ， ， ，

又∵ ， ， ，

∴
=
= ，

即 .

【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

=
=
= ，

即 ，

∴ .

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD‖CB，过点B作BD‖CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

，

∵ AB = DC = c，AD = BC = a，

AC = BD = b，

∴ ，即 ，

∴ .

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

∴
= = r + r = 2r,

即 ，

∴ .

∴ ，

即 ，

∵ ，

∴ ，

又∵ = =
= = ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ∴ .

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

假设 ，即假设 ，则由

= =
可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠A = ∠A，

∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则

∠CDB≠∠ACB.

又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

这与作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假设不能成立.

∴ .

【证法15】（辛卜松证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 = .

∴ ,

∴ .

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，

则 AD = c.

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，

∴ DM = EM―ED = ―a = b.

又∵ ∠CMD = 90º，CM = a，

∠AED = 90º， AE = b，

∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.

∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，

∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，

∴ ∠ADC = 90º.

∴ 作AB‖DC，CB‖DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，

∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，

∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.

∴ 点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵ AB = BC = c，BF = CG = a，

∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

∵ ， ， ，

，

∴
=
=
=
∴ .

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上次更新时间 05 年 06 月 12 日

热心网友 时间：2023-10-07 15:45

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

， 整理得 .

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .

∴ . ∴ .

【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

三角形的面积等于 . 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

∠HEF = 90º.

∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .

∴ .

∴ .

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于 .

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD‖BC.

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 .

∴ .

∴ .

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即 ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴ .

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP‖BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵ ∠BCA = 90º，QP‖BC，

∴ ∠MPC = 90º，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90º，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于 ，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 = .

同理可证，矩形MLEB的面积 = .

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ ，即 .

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

∠CAD = ∠BAC，

∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

即 .

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 .

∴ ，即 .

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =

CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .

又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，

∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

①

∵ = ，

，

∴ = . ②

把②代入①，得

= = .

∴ .

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90º，

∴ ∠TBH = ∠ABE.

又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.

∴ HT = AE = a.

∴ GH = GT―HT = b―a.

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90º，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE

= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌

RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 .

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，

∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 .

∵ ， ， ，

又∵ ， ， ，

∴
=
= ，

即 .

【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

=
=
= ，

即 ，

∴ .

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD‖CB，过点B作BD‖CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

，

∵ AB = DC = c，AD = BC = a，

AC = BD = b，

∴ ，即 ，

∴ .

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

∴
= = r + r = 2r,

即 ，

∴ .

∴ ，

即 ，

∵ ，

∴ ，

又∵ = =
= = ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ∴ .

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

假设 ，即假设 ，则由

= =
可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠A = ∠A，

∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则

∠CDB≠∠ACB.

又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

这与作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假设不能成立.

∴ .

【证法15】（辛卜松证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 = .

∴ ,

∴ .

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，

则 AD = c.

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，

∴ DM = EM―ED = ―a = b.

又∵ ∠CMD = 90º，CM = a，

∠AED = 90º， AE = b，

∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.

∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，

∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，

∴ ∠ADC = 90º.

∴ 作AB‖DC，CB‖DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，

∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，

∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.

∴ 点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵ AB = BC = c，BF = CG = a，

∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

∵ ， ， ，

，

∴
=
=
=
∴ .

热心网友 时间：2023-10-07 15:46

先随意确定一个直角三角形 设斜边为c 直角边a,b（不能是等腰的）
然后作一个正方形 （边长取这个直角三角形的斜边的长度）
接着在正方形内依次画四个这样的直角三角形 （分别以正方形四条边为斜边）
这个正方形的中心点就是点O

显然正方形面积是c的平方
四个三角形面积是2ab
中间小正方形面积是（a-b）的平方

所以（a-b）的平方 + 2ab = c的平方
化简 a的平方 + b的平方 = c的平方