古代数学应用题
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发布时间：2022-04-29 03:43
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时间：2023-10-09 15:25
古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，三个三个地数余二个，五个五个地数余三个，七个七个地数余二个，问这批物品最少有多少个。”这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。 那么，这个问题怎么解呢？明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀： 三人同行七十（70）稀， 五树梅花廿一（21）枝， 七子团圆正月半（15）， 除百零五（105）便得知。 歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即： 70×2＋21×3＋15×2－105×2=23 《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶于公元1247年写成的《数书九章》一书中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。 原题好象是“三角几何共计九角三角三角几何几何”。。
〈〈三角〉〉、〈〈几何〉〉共计九角，〈〈三角〉〉三角，〈〈几何〉〉几何？答案是〈〈几何〉〉为六角 【遗产分配问题】（罗马）有一位寡妇要把前夫的遗产3500元与自己的子女拆分.根据当时的法律规定，如果只有一个儿子，母亲可得到儿子应得部分的一半；如果只有一个女儿，母亲可得到相当于女儿2倍的遗产.可她生的是孪生儿女，有男孩也有女孩，根据当时的法律，应当怎样分这笔遗产呢？
【解答】设母亲、儿子、女儿分得的遗产分别为X、Y、Z，依题意有
X＋Y＋Z=3500 ①
X=1/2Y ②
X=2Z ③
由②得Y=2X④，由③得Z=1/2X⑤，将④⑤代入①得，X=1000，代入④得，Y=2000，代入⑤得，Z=500.因此，母亲、儿子、女儿分得的遗产分别为1000元，2000元，500元.
【圣诞火鸡问题】(美国)西方人把圣诞节视为他们最重要的节日.圣诞节前，约翰、彼得和罗伯一早就到了市场去卖他们饲养的火鸡.这些火鸡重量相差无几，因此就论只来卖.其中约翰有10只，彼得有16只，罗伯有26只.早上三人卖价相同.中午饭后，由于三人都没卖完，又要赶在天黑前回家，只好降价出售，但三人的卖价仍然相同.黄昏时，他们的火鸡全部卖完.当清点钱时，他们惊奇地发现每个人都得到56英镑.想想看，为什么？他们上、下午的售价各是多少？每人上、下午各售出多少只火鸡？
【解答】若假设约翰、彼得和罗伯上午卖出x，y，z只火鸡，那么下午各卖出10－x，16－y，26－z只火鸡.又若设上午售价为每只a英镑，下午售价为每只b英镑.由题意可得如下方程组：
ax＋b（10－x）=56 ①
ay＋b（16－y）=56 ②
az＋b（26－z）=56 ③
这是一个含有5个未知数却只有3个方程的不定方程组.
①－③得（x－z）（a－b）=16b， ④
②－③得（y－z）（a－b）=10b， ⑤
④÷⑤得(x-z)/(y-z)=8/5，即5x＋3z=8y.⑥
由题目条件知，0＜x＜10，0＜y＜16，0＜z＜26，经过代入⑥检验可找出，只有x=9，y=6，z=1是唯一的一组解，再把x，y，z的值代入①、②可算出a=6，b=2.因此上午售价为每只6英镑，下午每只2英镑.约翰、彼得和罗伯上午各卖出9，6，1只火鸡，下午各卖出1，10，25只火鸡.
孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟。一天鬼谷子出了这道题目：
他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。
因庞涓肯定两数不会都是质数，所以两数和不会是偶数，否则由小数的Goldbach猜想，小偶数必能分成两奇质数之和，庞涓便不能确定孙膑不知答案了。所以两数和应是奇数。此外，这两数也不会是2及一个奇质数。
孙膑从庞涓的说话，可知道两数一奇一偶。孙膑所知道的两数积，应为2^a.b的形式，其中a>0，b是奇数。如b可分解成b=cd，c>1，d>1，则答案可能是(2^a,b)，(2^a.c,d)或(2^a.d,c)，便仍未知答案，故此b为质数。但由上面庞涓的说话，a>1。
庞涓从孙膑的说话后，若两数和表示成2^a+b的形式是唯一，便也能得知答案。
以上推理其实并不全面，但已能得到多于一组答案。例子如下:
(4,13)
庞涓知x+y=17，x及y不能都是质数。
孙膑知xy=52，未听庞涓说话前，(x,y)可能是(2,26)，(4,13)。但现在知一奇一偶，只能是(4,13)。
庞涓知(x,y)不会是(2,15)[因30=2*15=6*5=10*3]，不会是(6,11)[因66=2*33=6*11=22*3]，不会是(8,9)[因72=8*9=24*3]，不会是(10,7)[因70=2*35=10*7=14*5]，不会是(12,5)[因60=4*15=12*5=20*3]，不会是(14,3)[因42=2*21=6*7=14*3]，只有(4,13)孙膑才肯定知答案。
但还有其它可能，如
(16,13) 庞涓知29，孙膑知208
(4,37) 庞涓知41，孙膑知148
(16,37) 庞涓知53，孙膑知592
(16,43) 庞涓知59，孙膑知688 中国古代方程趣题——百鸡问题 公元5世纪末，我国数学家张丘建在他所著的《算经》里提出了一个著名的不定方程问题——“百鸡问题”。
今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何？补充 - 2006-07-03 17:53:10 这个问题可通俗地叙述为：公鸡一只值五文钱，母鸡一只值三文钱，小鸡三只值一文钱，现在买了这三种鸡共100只，恰好用了一百文钱，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了。”两个牧童各有多少只羊？泪、倾城。 回答设 甲有X只,则乙有X-2只X+1=2*(X-2-1)X+1=2X-6
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时间：2023-10-09 15:26
于桥之上测桥高，把绳子对折，垂至水面尚余8尺；把绳子三折，垂至水面尚余2尺，求桥高与绳长？绳子对折尚余8尺，即两个桥高加上两个8尺等于绳长，即两个桥高加上16尺等于绳长；两个桥高加上两个8尺等于绳长绳子三折尚余2尺，即三个桥高加上6尺等于绳长。也就是说两个桥高加上16尺等于三个桥加上6尺，即两个桥高加上10尺等于三个桥，所以桥高为10尺，可求绳子长36尺。
也可用方程设桥高为x则
2（x＋8）＝3(x+2) x＝10 河上一条船，底漏如涌泉；
十二人淘水，三时可复原。
用人仅五个，十时去风险；
现限两时尽，几人上火线？
【解说】马希文教授是我国当代著名的数学家，由于他主持过“华罗庚数学金杯赛”的命题工作，而为广大的少年朋友所熟悉。他曾根据“牛顿问题”向我们少年朋友提出过一道著名的算题：
一只船有一个漏洞，水用均匀速度进入船内。船员发现漏洞时，船内已进了一些水。如果用12人淘水，3小时可以淘完；如果只有5个人淘水，需要10个小时才能淘完。现在要求2小时把水淘尽，需要多少人去淘水？
这道题目的解答，可以分下述几步进行：
（1）因为题目已经告诉了我们：12人来淘，3个钟头能够“复原”（能把水淘尽），由此可知，若要1小时将水淘尽，需要的淘水人数是
12×3=36（人）
（2）由于改用5个人去淘， 10个小时才能“去风险”（把水淘尽），故也可以求出若要1个小时将水淘尽，需要的人数是
5×10=50（人）
（3）针对上述两步计算分析：同样是在这一条船里淘水，为何这些水有时要36个人在1小时内淘完，有时却要50个人才能在1小时内淘完呢？
原因是明显的。因为这条船里的水，是边淘边涌进的。上面的第二种情况多要的
50-36=14（人）
是因为后者比前者多涌进了
10-3=7（个小时的水）
于是可以知道，这条船的漏洞每小时涌进来的水量是
14÷7=2（个人淘的水量）
（4）当开始发现船有漏洞时，船里面已经有多少水了呢？由12人淘，3小时才可以淘完，可知已涌进的水是
（12-2）×3=10×3=30（个人淘1小时的水量）
（5）因此，要求2小时淘尽已经涌进来了的水，需要的人数是
30÷2=15（人）
此外，还应安排2人去淘每小时新涌进的水量。所以，需要调用的人数便是
15+2=17（人）
答：需要17人淘水。有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样多了。”两个牧童各有多少只羊？[用一元一次方程解] 从乙的回答可以推出，甲比乙多两只羊，所以设乙的羊数为x，那么甲的羊数是x+2。那么x+2+1=2(x-1)x=5,x+2=5+2=7所以甲有7只羊，乙有5只羊设甲有羊x只,则由"把甲的羊给乙一只,他们的羊数就一样了"得,乙有羊x-2只 (x+1)/(x-2-1)=2 x=7 即甲有7只羊,乙有5只羊 8
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时间：2023-10-09 15:25
古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，三个三个地数余二个，五个五个地数余三个，七个七个地数余二个，问这批物品最少有多少个。”这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。 那么，这个问题怎么解呢？明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀： 三人同行七十（70）稀， 五树梅花廿一（21）枝， 七子团圆正月半（15）， 除百零五（105）便得知。 歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即： 70×2＋21×3＋15×2－105×2=23 《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶于公元1247年写成的《数书九章》一书中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。 原题好象是“三角几何共计九角三角三角几何几何”。。
〈〈三角〉〉、〈〈几何〉〉共计九角，〈〈三角〉〉三角，〈〈几何〉〉几何？答案是〈〈几何〉〉为六角 【遗产分配问题】（罗马）有一位寡妇要把前夫的遗产3500元与自己的子女拆分.根据当时的法律规定，如果只有一个儿子，母亲可得到儿子应得部分的一半；如果只有一个女儿，母亲可得到相当于女儿2倍的遗产.可她生的是孪生儿女，有男孩也有女孩，根据当时的法律，应当怎样分这笔遗产呢？
【解答】设母亲、儿子、女儿分得的遗产分别为X、Y、Z，依题意有
X＋Y＋Z=3500 ①
X=1/2Y ②
X=2Z ③
由②得Y=2X④，由③得Z=1/2X⑤，将④⑤代入①得，X=1000，代入④得，Y=2000，代入⑤得，Z=500.因此，母亲、儿子、女儿分得的遗产分别为1000元，2000元，500元.
【圣诞火鸡问题】(美国)西方人把圣诞节视为他们最重要的节日.圣诞节前，约翰、彼得和罗伯一早就到了市场去卖他们饲养的火鸡.这些火鸡重量相差无几，因此就论只来卖.其中约翰有10只，彼得有16只，罗伯有26只.早上三人卖价相同.中午饭后，由于三人都没卖完，又要赶在天黑前回家，只好降价出售，但三人的卖价仍然相同.黄昏时，他们的火鸡全部卖完.当清点钱时，他们惊奇地发现每个人都得到56英镑.想想看，为什么？他们上、下午的售价各是多少？每人上、下午各售出多少只火鸡？
【解答】若假设约翰、彼得和罗伯上午卖出x，y，z只火鸡，那么下午各卖出10－x，16－y，26－z只火鸡.又若设上午售价为每只a英镑，下午售价为每只b英镑.由题意可得如下方程组：
ax＋b（10－x）=56 ①
ay＋b（16－y）=56 ②
az＋b（26－z）=56 ③
这是一个含有5个未知数却只有3个方程的不定方程组.
①－③得（x－z）（a－b）=16b， ④
②－③得（y－z）（a－b）=10b， ⑤
④÷⑤得(x-z)/(y-z)=8/5，即5x＋3z=8y.⑥
由题目条件知，0＜x＜10，0＜y＜16，0＜z＜26，经过代入⑥检验可找出，只有x=9，y=6，z=1是唯一的一组解，再把x，y，z的值代入①、②可算出a=6，b=2.因此上午售价为每只6英镑，下午每只2英镑.约翰、彼得和罗伯上午各卖出9，6，1只火鸡，下午各卖出1，10，25只火鸡.
孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟。一天鬼谷子出了这道题目：
他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。
因庞涓肯定两数不会都是质数，所以两数和不会是偶数，否则由小数的Goldbach猜想，小偶数必能分成两奇质数之和，庞涓便不能确定孙膑不知答案了。所以两数和应是奇数。此外，这两数也不会是2及一个奇质数。
孙膑从庞涓的说话，可知道两数一奇一偶。孙膑所知道的两数积，应为2^a.b的形式，其中a>0，b是奇数。如b可分解成b=cd，c>1，d>1，则答案可能是(2^a,b)，(2^a.c,d)或(2^a.d,c)，便仍未知答案，故此b为质数。但由上面庞涓的说话，a>1。
庞涓从孙膑的说话后，若两数和表示成2^a+b的形式是唯一，便也能得知答案。
以上推理其实并不全面，但已能得到多于一组答案。例子如下:
(4,13)
庞涓知x+y=17，x及y不能都是质数。
孙膑知xy=52，未听庞涓说话前，(x,y)可能是(2,26)，(4,13)。但现在知一奇一偶，只能是(4,13)。
庞涓知(x,y)不会是(2,15)[因30=2*15=6*5=10*3]，不会是(6,11)[因66=2*33=6*11=22*3]，不会是(8,9)[因72=8*9=24*3]，不会是(10,7)[因70=2*35=10*7=14*5]，不会是(12,5)[因60=4*15=12*5=20*3]，不会是(14,3)[因42=2*21=6*7=14*3]，只有(4,13)孙膑才肯定知答案。
但还有其它可能，如
(16,13) 庞涓知29，孙膑知208
(4,37) 庞涓知41，孙膑知148
(16,37) 庞涓知53，孙膑知592
(16,43) 庞涓知59，孙膑知688 中国古代方程趣题——百鸡问题 公元5世纪末，我国数学家张丘建在他所著的《算经》里提出了一个著名的不定方程问题——“百鸡问题”。
今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何？补充 - 2006-07-03 17:53:10 这个问题可通俗地叙述为：公鸡一只值五文钱，母鸡一只值三文钱，小鸡三只值一文钱，现在买了这三种鸡共100只，恰好用了一百文钱，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了。”两个牧童各有多少只羊？泪、倾城。 回答设 甲有X只,则乙有X-2只X+1=2*(X-2-1)X+1=2X-6
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时间：2023-10-09 15:26
于桥之上测桥高，把绳子对折，垂至水面尚余8尺；把绳子三折，垂至水面尚余2尺，求桥高与绳长？绳子对折尚余8尺，即两个桥高加上两个8尺等于绳长，即两个桥高加上16尺等于绳长；两个桥高加上两个8尺等于绳长绳子三折尚余2尺，即三个桥高加上6尺等于绳长。也就是说两个桥高加上16尺等于三个桥加上6尺，即两个桥高加上10尺等于三个桥，所以桥高为10尺，可求绳子长36尺。
也可用方程设桥高为x则
2（x＋8）＝3(x+2) x＝10 河上一条船，底漏如涌泉；
十二人淘水，三时可复原。
用人仅五个，十时去风险；
现限两时尽，几人上火线？
【解说】马希文教授是我国当代著名的数学家，由于他主持过“华罗庚数学金杯赛”的命题工作，而为广大的少年朋友所熟悉。他曾根据“牛顿问题”向我们少年朋友提出过一道著名的算题：
一只船有一个漏洞，水用均匀速度进入船内。船员发现漏洞时，船内已进了一些水。如果用12人淘水，3小时可以淘完；如果只有5个人淘水，需要10个小时才能淘完。现在要求2小时把水淘尽，需要多少人去淘水？
这道题目的解答，可以分下述几步进行：
（1）因为题目已经告诉了我们：12人来淘，3个钟头能够“复原”（能把水淘尽），由此可知，若要1小时将水淘尽，需要的淘水人数是
12×3=36（人）
（2）由于改用5个人去淘， 10个小时才能“去风险”（把水淘尽），故也可以求出若要1个小时将水淘尽，需要的人数是
5×10=50（人）
（3）针对上述两步计算分析：同样是在这一条船里淘水，为何这些水有时要36个人在1小时内淘完，有时却要50个人才能在1小时内淘完呢？
原因是明显的。因为这条船里的水，是边淘边涌进的。上面的第二种情况多要的
50-36=14（人）
是因为后者比前者多涌进了
10-3=7（个小时的水）
于是可以知道，这条船的漏洞每小时涌进来的水量是
14÷7=2（个人淘的水量）
（4）当开始发现船有漏洞时，船里面已经有多少水了呢？由12人淘，3小时才可以淘完，可知已涌进的水是
（12-2）×3=10×3=30（个人淘1小时的水量）
（5）因此，要求2小时淘尽已经涌进来了的水，需要的人数是
30÷2=15（人）
此外，还应安排2人去淘每小时新涌进的水量。所以，需要调用的人数便是
15+2=17（人）
答：需要17人淘水。有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样多了。”两个牧童各有多少只羊？[用一元一次方程解] 从乙的回答可以推出，甲比乙多两只羊，所以设乙的羊数为x，那么甲的羊数是x+2。那么x+2+1=2(x-1)x=5,x+2=5+2=7所以甲有7只羊，乙有5只羊设甲有羊x只,则由"把甲的羊给乙一只,他们的羊数就一样了"得,乙有羊x-2只 (x+1)/(x-2-1)=2 x=7 即甲有7只羊,乙有5只羊 8
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古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，三个三个地数余二个，五个五个地数余三个，七个七个地数余二个，问这批物品最少有多少个。”这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。 那么，这个问题怎么解呢？明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀： 三人同行七十（70）稀， 五树梅花廿一（21）枝， 七子团圆正月半（15）， 除百零五（105）便得知。 歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即： 70×2＋21×3＋15×2－105×2=23 《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶于公元1247年写成的《数书九章》一书中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。 原题好象是“三角几何共计九角三角三角几何几何”。。
〈〈三角〉〉、〈〈几何〉〉共计九角，〈〈三角〉〉三角，〈〈几何〉〉几何？答案是〈〈几何〉〉为六角 【遗产分配问题】（罗马）有一位寡妇要把前夫的遗产3500元与自己的子女拆分.根据当时的法律规定，如果只有一个儿子，母亲可得到儿子应得部分的一半；如果只有一个女儿，母亲可得到相当于女儿2倍的遗产.可她生的是孪生儿女，有男孩也有女孩，根据当时的法律，应当怎样分这笔遗产呢？
【解答】设母亲、儿子、女儿分得的遗产分别为X、Y、Z，依题意有
X＋Y＋Z=3500 ①
X=1/2Y ②
X=2Z ③
由②得Y=2X④，由③得Z=1/2X⑤，将④⑤代入①得，X=1000，代入④得，Y=2000，代入⑤得，Z=500.因此，母亲、儿子、女儿分得的遗产分别为1000元，2000元，500元.
【圣诞火鸡问题】(美国)西方人把圣诞节视为他们最重要的节日.圣诞节前，约翰、彼得和罗伯一早就到了市场去卖他们饲养的火鸡.这些火鸡重量相差无几，因此就论只来卖.其中约翰有10只，彼得有16只，罗伯有26只.早上三人卖价相同.中午饭后，由于三人都没卖完，又要赶在天黑前回家，只好降价出售，但三人的卖价仍然相同.黄昏时，他们的火鸡全部卖完.当清点钱时，他们惊奇地发现每个人都得到56英镑.想想看，为什么？他们上、下午的售价各是多少？每人上、下午各售出多少只火鸡？
【解答】若假设约翰、彼得和罗伯上午卖出x，y，z只火鸡，那么下午各卖出10－x，16－y，26－z只火鸡.又若设上午售价为每只a英镑，下午售价为每只b英镑.由题意可得如下方程组：
ax＋b（10－x）=56 ①
ay＋b（16－y）=56 ②
az＋b（26－z）=56 ③
这是一个含有5个未知数却只有3个方程的不定方程组.
①－③得（x－z）（a－b）=16b， ④
②－③得（y－z）（a－b）=10b， ⑤
④÷⑤得(x-z)/(y-z)=8/5，即5x＋3z=8y.⑥
由题目条件知，0＜x＜10，0＜y＜16，0＜z＜26，经过代入⑥检验可找出，只有x=9，y=6，z=1是唯一的一组解，再把x，y，z的值代入①、②可算出a=6，b=2.因此上午售价为每只6英镑，下午每只2英镑.约翰、彼得和罗伯上午各卖出9，6，1只火鸡，下午各卖出1，10，25只火鸡.
孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟。一天鬼谷子出了这道题目：
他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。
因庞涓肯定两数不会都是质数，所以两数和不会是偶数，否则由小数的Goldbach猜想，小偶数必能分成两奇质数之和，庞涓便不能确定孙膑不知答案了。所以两数和应是奇数。此外，这两数也不会是2及一个奇质数。
孙膑从庞涓的说话，可知道两数一奇一偶。孙膑所知道的两数积，应为2^a.b的形式，其中a>0，b是奇数。如b可分解成b=cd，c>1，d>1，则答案可能是(2^a,b)，(2^a.c,d)或(2^a.d,c)，便仍未知答案，故此b为质数。但由上面庞涓的说话，a>1。
庞涓从孙膑的说话后，若两数和表示成2^a+b的形式是唯一，便也能得知答案。
以上推理其实并不全面，但已能得到多于一组答案。例子如下:
(4,13)
庞涓知x+y=17，x及y不能都是质数。
孙膑知xy=52，未听庞涓说话前，(x,y)可能是(2,26)，(4,13)。但现在知一奇一偶，只能是(4,13)。
庞涓知(x,y)不会是(2,15)[因30=2*15=6*5=10*3]，不会是(6,11)[因66=2*33=6*11=22*3]，不会是(8,9)[因72=8*9=24*3]，不会是(10,7)[因70=2*35=10*7=14*5]，不会是(12,5)[因60=4*15=12*5=20*3]，不会是(14,3)[因42=2*21=6*7=14*3]，只有(4,13)孙膑才肯定知答案。
但还有其它可能，如
(16,13) 庞涓知29，孙膑知208
(4,37) 庞涓知41，孙膑知148
(16,37) 庞涓知53，孙膑知592
(16,43) 庞涓知59，孙膑知688 中国古代方程趣题——百鸡问题 公元5世纪末，我国数学家张丘建在他所著的《算经》里提出了一个著名的不定方程问题——“百鸡问题”。
今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何？补充 - 2006-07-03 17:53:10 这个问题可通俗地叙述为：公鸡一只值五文钱，母鸡一只值三文钱，小鸡三只值一文钱，现在买了这三种鸡共100只，恰好用了一百文钱，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了。”两个牧童各有多少只羊？泪、倾城。 回答设 甲有X只,则乙有X-2只X+1=2*(X-2-1)X+1=2X-6
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时间：2023-10-09 15:26
于桥之上测桥高，把绳子对折，垂至水面尚余8尺；把绳子三折，垂至水面尚余2尺，求桥高与绳长？绳子对折尚余8尺，即两个桥高加上两个8尺等于绳长，即两个桥高加上16尺等于绳长；两个桥高加上两个8尺等于绳长绳子三折尚余2尺，即三个桥高加上6尺等于绳长。也就是说两个桥高加上16尺等于三个桥加上6尺，即两个桥高加上10尺等于三个桥，所以桥高为10尺，可求绳子长36尺。
也可用方程设桥高为x则
2（x＋8）＝3(x+2) x＝10 河上一条船，底漏如涌泉；
十二人淘水，三时可复原。
用人仅五个，十时去风险；
现限两时尽，几人上火线？
【解说】马希文教授是我国当代著名的数学家，由于他主持过“华罗庚数学金杯赛”的命题工作，而为广大的少年朋友所熟悉。他曾根据“牛顿问题”向我们少年朋友提出过一道著名的算题：
一只船有一个漏洞，水用均匀速度进入船内。船员发现漏洞时，船内已进了一些水。如果用12人淘水，3小时可以淘完；如果只有5个人淘水，需要10个小时才能淘完。现在要求2小时把水淘尽，需要多少人去淘水？
这道题目的解答，可以分下述几步进行：
（1）因为题目已经告诉了我们：12人来淘，3个钟头能够“复原”（能把水淘尽），由此可知，若要1小时将水淘尽，需要的淘水人数是
12×3=36（人）
（2）由于改用5个人去淘， 10个小时才能“去风险”（把水淘尽），故也可以求出若要1个小时将水淘尽，需要的人数是
5×10=50（人）
（3）针对上述两步计算分析：同样是在这一条船里淘水，为何这些水有时要36个人在1小时内淘完，有时却要50个人才能在1小时内淘完呢？
原因是明显的。因为这条船里的水，是边淘边涌进的。上面的第二种情况多要的
50-36=14（人）
是因为后者比前者多涌进了
10-3=7（个小时的水）
于是可以知道，这条船的漏洞每小时涌进来的水量是
14÷7=2（个人淘的水量）
（4）当开始发现船有漏洞时，船里面已经有多少水了呢？由12人淘，3小时才可以淘完，可知已涌进的水是
（12-2）×3=10×3=30（个人淘1小时的水量）
（5）因此，要求2小时淘尽已经涌进来了的水，需要的人数是
30÷2=15（人）
此外，还应安排2人去淘每小时新涌进的水量。所以，需要调用的人数便是
15+2=17（人）
答：需要17人淘水。有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样多了。”两个牧童各有多少只羊？[用一元一次方程解] 从乙的回答可以推出，甲比乙多两只羊，所以设乙的羊数为x，那么甲的羊数是x+2。那么x+2+1=2(x-1)x=5,x+2=5+2=7所以甲有7只羊，乙有5只羊设甲有羊x只,则由"把甲的羊给乙一只,他们的羊数就一样了"得,乙有羊x-2只 (x+1)/(x-2-1)=2 x=7 即甲有7只羊,乙有5只羊 8
