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如何证明一个数为无理数?

发布网友发布时间：2022-04-29 14:48

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热心网友时间：2023-10-12 17:26

证明根号2是无理数：若根号2是有理数,则设它等于m/n(m、n为不为零的整回数,m、n互质)，(m/n)^2=根号2 ^2 =2， m^2/n^2=2，m^2=2*n^2，即 m^2是偶数,设m=2k，m^2=4k^2=2n^2，n^2=2k^2，即n是偶数，所以根号2不是有理数,它是无理数。

众所周知，有理数集内的加法、减法、乘法、除法，这些有理运算能够保证封闭性(即原数集的任意数经过运算后，仍在原数集内)，但是对于开方运算就不满足封闭性，于是就要引入一种新的数——无理数，即不能写成两个互质整数之比的数。

无理数起源于毕达哥拉斯学派.毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，这里的数指的是可以写成两个整数之比的数，即有理数。据说毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现正方形的一边和对角线不可公约，换句话说，正方形的对角线与边长之比根号2不是有理数，这个发现导致他后来被处以极刑。

热心网友时间：2023-10-12 17:27

证明根号2是无理数：

证明：若根号2是有理数,则设它等于m/n（m、n为不为零的整数,m、n互质）

所以（m/n）^2=根号2 ^2 =2

所以 m^2/n^2=2

所以 m^2=2*n^2

所以 m^2是偶数,设m=2k（k是整数）

所以 m^2=4k^2=2n^2

所以 n^2=2k^2

所以 n是偶数

因为 m、n互质

所以矛盾

所以根号2不是有理数，它是无理数

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。

必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。

如何证明一个数为无理数?

通过推导，他发现这会导致矛盾，从而证明了对角线长度必须是无理数。其次，自然常数e的证明过程涉及反证法。假设e是有理数，可以表示为两个正整数之比。通过调整这个假设，我们发现这个数必然导致矛盾，从而证明e是无理数。关键步骤在于将e的定义式与整数特性联系起来，通过不等式缩放，我们能证明e不可能...

如何证明一个数为无理数?

具备无限不循环两个条件的数就是无理数

如何证明一个数是无理数?

证明一个数是无理数通常需要使用反证法。以下是一般的步骤：1.假设该数是有理数，即它可以表示为两个整数的比值，记作a/b（其中a和b没有公因数）。2.构造一个新的数，记作x，它是原数与某个实数c的差，即x=a/b-c。3.证明新构造的数x满足以下性质之一：-x是无理数。-x可以表示为两个...

如何证明一个数是无理数

∴q^2必为偶数 ∴q必为偶数综上，q和p都是偶数 ∴q、p互质，且q、p为偶数矛盾原假设不成立 ∴√2为无理数

证明一个数是无理数的方法,举例

例子：证明根号2是无理数：证明：若根号2是有理数，则设它等于m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质）所以（m/n）^2=根号2 ^2 =2 所以 m^2/n^2=2 所以 m^2=2*n^2 所以 m^2是偶数，设m=2k（k是整数）所以 m^2=4k^2=2n^2 所以 n^2=2k^2 所以 n是偶数因为 m、n互质...

证明一个数是无理数的方法,举例

一般采用反正，假设它是有理数，然后把它表示成m/n的形式通过判断不成立，从而证明他不是有理数所以就是无理数

如何判断一个数是无理数还是有理数?

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： √2=p/q 又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。把 √2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2) 即 2(q^2)=p^2 由于2q^...

如何证明无理数

其中无理数就是无限不循环小数。如果数轴的计量长度单位一定，就是说0到1的长短一定，那么所有的单位都是均匀的、一定的。例如：√2是无理数。用圆规可以量出边长为1的正方形对角线的长度，然后以0点为圆心，可以在数轴两侧，左右画弧，交数轴于两个点，一个是-√2，一个是+√2。

如何证明某个数是无理数?

证明一个数是无理数的方法有很多，其中一种是反证法。假设这个数是有理数，然后通过推理得出矛盾，从而证明这个数是无理数。例如，证明根号2是无理数的方法是：若根号2是有理数，则设它等于m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质），所以（m/n）^2=根号2^2=2，所以m^2/n^2=2，所以m^2=...

证明无理数

证明：如果该数字是有理数，那么显然它是无限循环小数。假设它的循环节有n位。那么，根据这个数的特征，它在小数部分一定会出现100...0（共n个0）这个数字。而根据循环节的定义，该数的循环节必然全部为0。矛盾。因此它是无理数。

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