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三角函数和最大值

发布网友发布时间：2022-05-16 06:29

共4个回答

热心网友时间：2023-08-02 18:54

因为π/4≤x≤π/2，所以√2/2≤sinx≤1
设t=sinx，√2/2≤t≤1
原式为y=2/t+t/2
求导得y‘=（-2/t²）+1/2
√2/2≤t≤1，所以1/2≤t²≤1，1≤1/t²≤2，-4≤-2/t²≤-2，-7/2≤（-2/t²）+1/2≤-3/2
可知导数恒小于0，函数在π/4≤x≤π/2时单调递减，则当x=√2/2时取得最大值
代入计算得2/（√2/2）+（√2/2）/2=(9√2)/4
所以答案是C

热心网友时间：2023-08-02 18:54

令t=sinx∈[√2/2,1]
y=2/t+t/2
是对勾函数，在(0,2)上递减，在（2，+∞）上递增
所以，y=2/t+t/2在[√2/2,1]上递减
所以 t=√2/2时，y有最大值=2/(√2/2)+(√2/2)/2=2√2+√2/4=9√2/4

选C

热心网友时间：2023-08-02 18:55

因为sinx∈[√2/2,1]
sinx/x >0,x/sinx >0,则y=2/sinx+sinx/2=2√(2/sinx*sinx/2)=2
求导比较复杂
或因为sinx>0,所以函数又最小值（当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）），即sinx=sqrt（2/(1/2)）=2有最小值y=2追问答案是C

追答不好意，这题不能用均值不等式,是求最大值
可以令t=sinx∈[√2/2,1]
y=2/t+t/2
求导y‘=-2/t^2+1/2，原函数在区间上递减，最大值=2/(√2/2）+√2/2/2==(9√2)/4

其实对勾函数的一般形式是：　　f(x)=x+a/x(a>0) 　　定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) 　　值域为(-∞,-2根号a)∪(2根号a,+∞) 　　
当x>0,有x=根号a,有最小值是2根号a 　　
当x0),它的单调性讨论如下：　　
设x10,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(-根号a,0)上是减函数　　
(3)当00,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(0，根号a)上是减函数　　
（4）当根号a0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函数在(根号a，+∞)上是增函数　　
解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值

热心网友时间：2023-08-02 18:55

2/sinx 看做x 则y=x+1/x sinx 在(根号2除2,1）之间 2/sinx 在（2，2根号2），由单调性，选c

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