在学习初三数学二十四章“圆”的时候，在题目中添加辅助线有什么规律和技巧？
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发布时间：2022-05-12 13:12
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时间：2023-10-09 12:24
（1）有了弦，常引的辅助线是：过弦端点的半径；垂直于弦的直径（或弦心距）。 作用：构成直角三角形或利用垂径定理。 记忆口诀：圆的证明不算难，常把半径直径连；有弦要想弦心距，它定垂直平分弦； 例1：如图1，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm。求⊙O的半径。 [规范解法]作OC⊥BA于C，连结OA。则在Rt△AOC和Rt△POC中，有AO2-AC2=OP2-CP2即AO2-52=52-(5-4)2。∴ AO=7。即⊙O的半径为7cm。 例2：已知AB=CD,M、N分别为AB、CD的中点。 求证：∠AMN=∠CNM [规范解法]过M、N分别作OM⊥AB、ON⊥CD垂足为M、N ∵AB= CD,∴OM=ON，∴∠OMN= ∠ONM。∵OM⊥AB、ON⊥CD∴∠OMA=∠ONC=90°∴∠AMN=∠CNM。 （2）有了直径，常引的辅助线是：作直径所对的圆周角。如图 作用：得到直角或直角三角形。 记忆口诀：遇直径作直角 例3：(2007年中考题) ①AD是圆O的直径， BC切圆O于D，AB、AC与圆O相交于点E、F。 求证：AE·AB=AF·AC。 思路启迪：AD是直径，构造直径所对的圆周角。 [规范解法]连接DE,DF ∵AD是圆O的直径，∴DE⊥AB，DF⊥AC。∵BC切圆O于点D，AD是圆O的直径，∴AD⊥BC。∴根据射影定理有AD2=AE·AB，AD2=AF·AC。 ∴AE·AB=AF·AC。 例4：已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2点在⊙O1上。AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证：CO2⊥AD。 思路启迪：AD是直径，构造直径所对的圆周角。 [规范解法]连接AB ∵AD是⊙O2 的直径 ∴∠ABD是直角 ∴∠ABC是直角 又∠ABC与∠A02C是同弧上的圆周角 ∴∠AO2C是直角 ∴CO2⊥AD （3）有了圆的切线，常引的辅助线是：连接过切点的半径；引过切点的弦。 作用：利用切线垂直于过切点的半径，得直角或直角三角形或弦切角。 记忆口诀：要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，连半径证垂直，直线与圆未给点，作垂线证半径。 例5：在Rt ΔABC中，∠B =90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。求证：AC是 ⊙D的切线。 思路启迪：圆上没点，作垂直证半径可得切线。 [规范解法]过D点作DF⊥AC于F，∵∠B=90° ∴DB⊥AB。 又∵AD是∠BAC的角平分线 DF⊥AC∴DB=DF。 ∵DB是⊙D的半径，∴DF也是 ⊙D的半径。 因此AC是⊙D的切线。 （4）两圆相交时，常引的辅助线是：公共弦；连心线。 作用：①利用连心线垂直平分公共弦；②使之出现弧上的圆周角或构成圆内接四边形，而沟通两圆的关系。 例6：如图，两圆交于B、C，AC切小圆于C，ABE交小圆于E，连CE交大圆于D。求证：AC＝AD。 思路启迪：由于AC、AD已构成三角形，故只需证明∠ACD＝∠ADC即可。但因这两个角同是大圆的圆周角。因此，要寻求它们与小圆的关系。观察图形可以发现∠CDA＝∠E＋∠DAE。这样问题便转化为关于两个圆的角的问题，所以需要作出公共弦，借助圆周角定理与弦切角定理来求得问题的解决。 例7：已知⊙O1与⊙O2交于A、B，过A的直线分别交两圆于C、D，连结BO1,BC,BO2,BD。 求证：∠CBD=∠O1BO2 思路启迪：在两圆相交的图形中，公共弦是一条重要的辅助线。因公共弦使两圆的角在量上发生联系。也就是说，连公共弦后出现外角等于内对角或中间角。另外，两圆相交，连心线垂直平分公共弦，可以丰富已知条件。 （5）有两圆的公切线时，常引的辅助线是：以圆心距为斜边，公切线长与两圆半径和（或差）为直角边长的直角三角形。如图。 作用：利用勾股定理或三角函数进行有关量的计算。 （6）两圆（或多圆）相切时，常引的辅助线是：过切点引两圆的公切线；作两圆的连心线。如图 (1)、(2)、(3)。 作用：把圆周角、弦切角联系起来，又连通了两圆的关系。 例8：如图，⊙O1与⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点，（I）求证：AB⊥AC；（II）若r1、r2分别为⊙O1、⊙O2的半径，且r1=2r2，求■的值。 辅助线提示：记忆口诀：如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。
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时间：2023-10-09 12:25
添加的辅助线必须对题设有用，否则越添越乱，还不如不添。比较常见的添加方法是构成特殊三角形阿。如果添加的位置对的话题一下子就解决了。 不用的题有不同的添加方法，但方法就只有那几种，只不过变通一下而已。 其实圆是最好学的一章。。不明白为啥你们都不弄不明白|||
